Question

已知函數f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1，a∈R，a≠0．
（1）若對任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范圍；
（2）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角不等式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）函數f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

．對a分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．
（2）利用（1）的討論及其存在的意義進行等價轉化，解出即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1=sin²x+asinx+a-

3

a

=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

．
①當-

a

2

≥1，a≤-2時，當sinx=-1時，f（x）取得最大值，∴1-a+a-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，應該舍去．
②當-

a

2

≤-1，即a≥2時，當sinx=1時，f（x）取得最大值，∴1+a+a-

3

a

≤0，解得-

3

2

≤a≤1，應該舍去．
③當-1＜-

a

2

＜1且a≠0，即-2＜a＜2，且a≠0時，由上面可知：

0＜a≤3 - 3 2 ≤a≤1

，解得0＜a≤1．
（2）a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，
由上面的②可知：當sinx=-1時，f（x）取得最小值，
∴1-a+a-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，又a≥2，
∴2≤a≤3．

點評：本題考查了二次函數的單調性、正弦函數的單調性與有界性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．