Question

已知函數(shù)f（x）=（1-tan

x

2

）[1+

2

sin（x+

π

4

）]．
（1）求f（

π

6

）的值；
（2）若2sinα+f（α）=

4

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2cosx，從而可求f（

π

6

）的值．
（2）由（1）及2sinα+f（α）=

4

3

可得sinα+cosα=

2

3

，兩邊平方可解得：sin2α=-

5

9

，從而化簡(jiǎn)

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

=

sin2α-cos2α+1

1+tanα

=sin2α，即可得解．

解答： 解：（1）∵f（x）=（1-tan

x

2

）[1+

2

sin（x+

π

4

）]=（1-tan

x

2

）（1+sinx+cosx）=2cosx，
∴f（

π

6

）=2cos（

π

6

）=

3

．
（2）∵2sinα+f（α）=

4

3

，即有：2sinα+2cosα=

4

3

，
∴sinα+cosα=

2

3

，
∴兩邊平方可得：1+sin2α=

4

9

，可解得：sin2α=-

5

9

，
∴

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

=

sin2α-cos2α+1

1+tanα

=sin2α=-

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查了萬(wàn)能公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．