Question

已知橢圓C的離心率為

2

2

，橢圓C的右焦點(diǎn)F₂和拋物線y²=4

2

x的焦點(diǎn)重合，橢圓C與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為N，且M是橢圓C的右頂點(diǎn)．
（1）求tan∠NF₂M的值；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足|

AP

|•|

QB

|-|

PB

|•|

AQ

|=

1-t2

+

t2-1

（t∈R），求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的離心率求出橢圓的方程，解出N，然后求tan∠NF₂M的值；
（2）通過(guò)|

AP

|•|

QB

|-|

PB

|•|

AQ

|=

1-t2

+

t2-1

=0，
方法一，設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由題可設(shè)λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，則λ＞0且λ≠1．利用A，P，B，Q四點(diǎn)共線，又點(diǎn)A、B在橢圓C上，推出點(diǎn)Q的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分，求出點(diǎn)Q的軌跡方程．
方法二設(shè)點(diǎn)Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設(shè) 

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

=λ．又 P，A，Q，B四點(diǎn)共線，由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，化簡(jiǎn)整理即可得到點(diǎn)Q的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分，求出方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意拋物線y²=4

2

x的焦點(diǎn)（

2

，0），
橢圓c=

2

，離心率為

2

2

，解得a²=4，b²=2，
所求橢圓方程為 

x2

4

+

y2

2

=1．
N（2，0），F2(

2

，0)，
tan∠NF₂M=-1-----（2分）
（Ⅱ）由|

AP

|•|

QB

|-|

PB

|•|

AQ

|=

1-t2

+

t2-1

（t∈R）
可得|

AP

|•|

QB

|-|

PB

|•|

AQ

|=0-----（3分）
方法一
設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題可設(shè)λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，則λ＞0且λ≠1．
又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

．
于是           4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

-----（5分）
從而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=4x，…（1）

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=y，…（2）
又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即

x

2 1

+2

y

2 1

=4，…(3)

x

2 2

+2

y

2 2

=4，…(4)
（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得4x+2y=4，
即點(diǎn)Q的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分，方程為2x+y-2=0．-----（10分）
方法二
設(shè)點(diǎn)Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設(shè) 

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

=λ．
又 P，A，Q，B四點(diǎn)共線，可得

PA

=-λ

AQ

，

PB

=λ

BQ

(λ≠0，±1)，于是x1=

4-λx

1-λ

，y1=

1-λy

1-λ

（1）x2=

4+λx

1+λ

，y2=

1+λy

1+λ

（2）-----（5分）
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程x²+2y²=4，
整理得（x²+2y²-4）λ²-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x²+2y²-4）λ²+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
（4）-（3）得   8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，
即點(diǎn)Q的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分，方程為2x+y-2=0．-----（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，四點(diǎn)共線，橢圓的方程的求法，拋物線的基本性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．注意軌跡方程中不滿足題意的點(diǎn)．