Question

如圖，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分別是AB與PD的中點.

（1）求證：PC⊥BD；

（2）求證：AF//平面PEC；

（3）求二面角P—EC—D的大小.

Answer 1

（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

解析:

證明：（1）連結AC，則AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜線PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂線定理得PC⊥BD�！�……………4分

   （2）取PC的中點K，連結FK、EK，則四邊形AEKF是平行四邊形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC�！�………4分

   （3）延長DA、CE交于M，過A作AH⊥CM于H，

連結PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA為所求二面角P—EC—D的平面角�！�……………10分

∵E為AB的中點，AE//CD，∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分