Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)在上的極值；

（3）設(shè)函數(shù)，若，且對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無極大值；（3）.

【解析】

（1）代入，求導(dǎo)，求出斜率和切點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可寫出直線方程；

（2）求導(dǎo)，分類討論求出函數(shù)在上單調(diào)性，列表，找到極值點(diǎn)，進(jìn)而可得極值；

（3）對任意的，恒成立，先通過估算實(shí)數(shù)a的取值范圍，再分和討論，求導(dǎo)，求出的最大值，列不等式求解即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，

，

所以，，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

即；

（2），.

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增，所以無極值；

②當(dāng)時(shí)，令，得，列表如下：

x
		0
		極小值

所以的極小值為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，無極值；

當(dāng)時(shí)，的極小值為，無極大值；

（3）因?yàn)?/span>.

由題意，對任意的，恒成立，所以，

解得，又，所以.

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).

由（2）知，在上單調(diào)增，所以.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，

所以在上單調(diào)增，則，

解得，此時(shí)，.

②當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞增，且，

又，所以存在，且，使得，

即，得.

所以的解為和a，列表如下：

x				a
		0		0
		極大值		極小值

所以，，即，

又，所以恒成立，此時(shí)，.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.