Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）求使f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)的充要條件；
（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）使f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)的充要條件是在[0，+∞）上f′（x）≤0．錄用導(dǎo)數(shù)的運算法則和對a，b討論即可得出．
（II）分類討論：由（I）可知：當(dāng)0＜a≤b時，f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，此時函數(shù)f（x）的最大值為f（0；當(dāng)x∈[0，

a-b

a

)時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）f′(x)=

a

ax+b

-1=

-a(x- a-b a )

ax+b

．
使f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)的充要條件是在[0，+∞）上f′（x）≤0．
∵a＞0，b＞0，ax+b＞0，∴x-

a-b

a

≥0，∵x≥0，∴

a-b

a

≤0，
即0＜a≤b．
∴使f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)的充要條件是0＜a≤b．
（II）由（I）可知：當(dāng)0＜a≤b時，f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，此時函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=lnb．
當(dāng)0＜b＜a時，令f′（x）=0，解得x=

a-b

a

．
可知：當(dāng)x∈[0，

a-b

a

)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(

a-b

a

，+∞)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

a-b

a

時，函數(shù)f（x）取得最大值，f(

a-b

a

)=lna-

a-b

a

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、充要條件，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．