Question

已知函數(shù)(其中).

(Ⅰ)若為的極值點(diǎn),求的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,解不等式；

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032911511421707981/SYS201403291152459357192874_DA.files/image004.png">為的極值點(diǎn)，所以是的根，所以對(duì)求導(dǎo)，解方程求出的值，最后檢驗(yàn)一次是不是的極值點(diǎn)；第二問(wèn)，先將不等式進(jìn)行恒等變形，變成，轉(zhuǎn)化為不等式組，而對(duì)于來(lái)說(shuō)，式子比較復(fù)雜，不可以直接解不等式，那就構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解不等式；第三問(wèn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032911511421707981/SYS201403291152459357192874_DA.files/image005.png">在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，對(duì)求導(dǎo)，由于中含參數(shù)，所以對(duì)進(jìn)行討論，求出的增區(qū)間，利用與增區(qū)間之間的子集關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032911511421707981/SYS201403291152459357192874_DA.files/image014.png">

     2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032911511421707981/SYS201403291152459357192874_DA.files/image004.png">為的極值點(diǎn),所以由,解得     3分

檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.

所以為的極值點(diǎn),故.     4分

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),不等式,

整理得,即或 6分

令,,,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,即,

所以在上單調(diào)遞增,而；

故；,

所以原不等式的解集為；     8分

(Ⅲ) 當(dāng)時(shí), 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032911511421707981/SYS201403291152459357192874_DA.files/image044.png">,所以,所以在上是增函數(shù).

當(dāng)時(shí),, 時(shí),是增函數(shù),.

①若,則,由得；

②若,則,由得.

③若,,不合題意,舍去.

綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是    12分](亦可用參變分離求解).

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；3.恒成立問(wèn)題.