如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CD的中點．

(1)證明AD⊥D1F；

(2)證明AE⊥D1F；

(3)證明平面AED⊥平面A1FD1；

(4)求直線A1D1到平面ADE的距離．

答案：
解析：

　　(1)證明：∵AD⊥平面D1C1CD，D1F平面D1C1CD，∴AD⊥D1F．

　　(2)證明：取AB的中點H，連結(jié)FH、A1H，易知FH∥AD，AD∥A1D1，∴FH∥A1D1，F(xiàn)H＝A1D1．

　　∴四邊形FHA1D1是平行四邊形．

　　∴A1H∥D1F．

　　又易知△AA1H≌△ABE，∴∠AA1H＝∠EAB．

　　∵∠A1AH＝90°，∴A1H⊥AE．∵A1H∥D1F，∴D1F⊥AE．

　　(3)證明：∵A1H⊥AE，AD⊥A1H，AD∩AE＝A，∴A1H⊥平面AED．

　　∵A1H平面A1D1F，∴平面AED⊥平面A1FD1．

　　(4)解：設(shè)A1H∩AE＝G，由上面結(jié)論：A1G⊥AE，A1G⊥AD，∴A1G⊥平面ADE．

　　∴A1G即為A1D1到平面ADE的距離．

　　∵AA1＝a，AH＝a，則A1H＝a，∴AG＝a．

　　∴直線A1D1到平面ADE的距離為a．


練習(xí)冊系列答案
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如圖，在棱長為2的正四面體A-BCD中，若以△ABC為視角正面，則其正視圖的面積是（ ）

A．
B．
C．
D．

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