Question

已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意和函數奇偶性得：f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），令x取-x代入f（x）+g（x）=2log₂（1-x）化簡后，聯立原方程求出f（x）和g（x），由對數的運算化簡，由對數函數的性質求出函數的定義域；
（2）設t=1-x²，由-1＜x＜1得0＜t≤1，利用對數函數的性質求出g（x）的值域．

解答： 解：（1）因為f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
令x取-x代入f（x）+g（x）=2log₂（1-x），①
得f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），即-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），②
聯立①②可得，f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=

log

1-x 1+x 2

（-1＜x＜1），
g（x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）=

log

(1-x2) 2

（-1＜x＜1）；
（2）設t=1-x²，由-1＜x＜1得0＜t≤1，
所以函數y=log₂t的值域是（-∞，0]，
故g（x）的值域是（-∞，0]．

點評：本題考查函數奇偶性的應用，對數函數的性質、運算，以及方程思想和換元法求函數的值域．