Question

判斷并證明：函數(shù)f（x）=

2x+3

x+1

在（-1，﹢∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答： 解：f（x）=

2x+3

x+1

=

2(x+1)+1

x+1

=2+

1

x+1

，在（-1，﹢∞）上的單調(diào)遞減．
任意設(shè)-1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)f（x）=

2x+3

x+1

在（-1，﹢∞）上的單調(diào)遞減．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．