Question

（本題滿分14分）已知函數，.

（1）若函數依次在處取到極值.

①求的取值范圍；

②若，求的值.

（2）若存在實數，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數 的最大值

 

Answer 1

【答案】

（1）①      ②

（2）的最大值為5

【解析】(1) ①由題意可知方程有三個不同的實數根.

然后再構造函數,利用導數研究g(x)的圖像特征，根據其極值和g(x)有三個零點建立關于t的不等式，求出t的取值范圍.

②,

然后根據對應系數相等建立關于a,b,c,t的方程，求出a,b,c,t的值.

(1)    解決本小題的關鍵是做好幾個轉化：不等式 ，即，

即.轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.然后構造,利用導數研究其最小值即可.

解：（1）①

…………5分

②

,……10分

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數.又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數的最大值為5.