Question

一個正六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這樣的兩個多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個最簡分?jǐn)?shù)

m

n

，那么積m•n是

 

．

Answer 1

分析：畫出正六面體、正八面體及內(nèi)切球，設(shè)出半徑r₁與r₂，
利用體積求出兩個半徑的比，然后得到m•n．

解答：解：設(shè)六面體與八面體的內(nèi)切球半徑分別為r₁與r₂，
再設(shè)六面體中的正三棱錐A-BCD的高為h₁，
八面體中的正四棱錐M-NPQR的高為h₂，如圖所示

則h₁=

6

3

a，h₂=

2

2

a．
∵V_正六面體=2•

1

3

h₁•S_△BCD=6•

1

3

r₁•S_△ABC，∴r₁=

1

3

h₁=

6

9

a．
又∵V_正八面體=2•

1

3

h₂•S_{正方形NPQR}=8•

1

3

r₂•S_△MNP，

3

a³=2

3

r₂a²，r₂=

6

6

a，于是

r1

r2

=

6 9 a

6 6 a

=

2

3

，  

2

3

是最簡分?jǐn)?shù)，
即m=2，n=3，∴m•n=6．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是難題．