Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)任意x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＜0，對(duì)任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，試比較f（）與的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間以及極值．
（2）將變量a分離出來，轉(zhuǎn)化成使對(duì)任意x＞0，只須2a≤f（x）_min，研究f（x）的最小值即可．
（3）利用作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，f（）-化簡(jiǎn)整理后判定其符號(hào)．
解答：解：由題意x＞0，f′（x）=
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得，解得，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是；
由f′（x）＜0得＜0，解得，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是
∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值，
極小值為f（）=
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，∵對(duì)任意x＞0，
均有ax（2-lnx）≤1，即有對(duì)任意x＞0，恒成立，
∴對(duì)任意x＞0，只須2a≤f（x）_min
由（1）可知，函f（x）的極小值，即為最小值，
∴2a≤f（x）_min=a-alna，，解得
即a的取值范圍為
（3）
∵x₁＞0，x₂＞0且x₁≠x₂，a＜0，
∴x₁+x₂＞2，∴＞1，aln＜0
又，
∴aln+，
∴f（）-＜0，即f（）＜．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．