[探究]顯然直接在直線y=x上任取一點(diǎn)B的坐標(biāo),在x軸上任取一點(diǎn)A的坐標(biāo),這里涉及到3個(gè)變量,想求解它是困難的.怎么辦?不妨先作出圖形,將三角形的三邊之和轉(zhuǎn)化為一條線段上的距離之和,這樣就轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)間距離的最小值.那又怎樣轉(zhuǎn)化?利用對(duì)稱點(diǎn),將距離轉(zhuǎn)化為直線上等長(zhǎng)的部分即可.
[解]如圖,分別作點(diǎn)C關(guān)于x軸、直線y=x的對(duì)稱點(diǎn) 、 ,則|AC|=|A |,|BC|=|B |,從而△ABC的周長(zhǎng)=|CB|+|BA|+|AC|=|B |+|BA|+|A |=折線段 AB 的長(zhǎng),顯然當(dāng)A、B分別為直線![](http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1620/0279/39e6aa11bfe884aabcdf9f5f82e39305/C/Image615.gif) 與x軸、直線y=x的交點(diǎn)時(shí),折線段 AB 的長(zhǎng)最短.
易知, 的坐標(biāo)為(2,-1), 的坐標(biāo)為(1,2),由兩點(diǎn)式直線方程得,直線![](http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1620/0279/39e6aa11bfe884aabcdf9f5f82e39305/C/Image615.gif) 的方程為3x+y-5=0.
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在上述方程中分別令y=0,以及y=x,解得 .
[規(guī)律總結(jié)]1.求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線問題,其實(shí)質(zhì)便是垂直問題.點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn) 是指過P作直線l的垂線并延長(zhǎng)使其長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到l的距離上的點(diǎn),即
若l:Ax+By+C=0,P(x1,y1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為 (x2,y2),則
(AB≠0).
特別地,點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸、y軸以及直線x=y(tǒng)的對(duì)稱點(diǎn)分別為(x,-y)、(-x,y)和(y,x).
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