Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ．

∵x=2為f（x）的極值點，∴f′（2）=0，即 ，解得a=0．

又當a=0時，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2為f（x）的極值點成立

（2）解：∵y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，

∴f′（x）= ≥0，在[3，+∞）上恒成立．

①當a=0時，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，故a=0符合題意．

②當a≠0時，由函數(shù)f（x）的定義域可知：必須2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，

∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．

令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其對稱軸為 ．

∵a＞0， ，從而g（x）≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．

由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得 ．

∵a＞0，∴ ．

綜上所述，a的取值范圍為

【解析】（1）令f′（x）=0解得a，再驗證是否滿足取得極值的條件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，可得f′（x）= ≥0，在[3，+∞）上恒成立．對a分類討論即可得出．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．