Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a₁•a₂•…a_n＜2•n！

Answer 1

【答案】分析：（1）將條件變?yōu)椋?-=，因此{(lán)1-}為一個(gè)等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）a₁•a₂•a_n=，為證a₁•a₂•a_n＜2•n！只要證n∈N*時(shí)有＞．再由數(shù)數(shù)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）將條件變?yōu)椋?-=，因此{(lán)1-}為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為
1-=，公比，從而1-=，
據(jù)此得a_n=（n≥1）1°
（2）證：據(jù)1°得，a₁•a₂•a_n=
為證a₁•a₂•a_n＜2•n！
只要證n∈N*時(shí)有＞2°
顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)n∈N*，有≥1-（）3°
用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式：
（1）n=1時(shí)，3°式顯然成立，
（2）設(shè)n=k時(shí)，3°式成立，
即≥1-（）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，≥〔1-（）〕•（）
=1-（）-+（）≥
1-（+）即當(dāng)n=k+1時(shí)，3°式也成立．
故對(duì)一切n∈N*，3°式都成立．
利用3°得，≥1-（）=1-
=1-＞
故2°式成立，從而結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題中的隱含條件．