Question

已知等差數列{a_n}的首項為a,公差為d,且方程ax²-3x+2=0的解為1,d.
(1)求{a_n}的通項公式及前n項和公式;
(2)求數列{3^n-1a_n}的前n項和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2n-1   S_n=n²  (2) T_n=1+(n-1)·3ⁿ

解:(1)方程ax²-3x+2=0的兩根為1,d.
所以a=1,d=2.
由此知a_n=1+2(n-1)=2n-1,前n項和S_n=n².
(2)令b_n=3^n-1a_n=(2n-1)·3^n-1,
則T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1·1+3·3+5·3²+…+(2n-1)·3^n-1,
3T_n=1·3+3·3²+5·3²+…+(2n-3)·3^n-1+(2n-1)·3ⁿ,
兩式相減,得-2T_n=1+2·3+2·3²+…+2·3^n-1-(2n-1)·3ⁿ=1+-(2n-1)·3ⁿ=-2-2(n-1)·3ⁿ.
∴T_n=1+(n-1)·3ⁿ.