在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1+2cosx，2+2cos2x）和點(diǎn)Q（cosx，-1），x∈R．
（Ⅰ）若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．
（Ⅱ）定義函數(shù)f（x）=
OP
•
OQ
，x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的值域．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用
分析：（I）由向量
OP
與
OQ
垂直，可得
OP
•
OQ
=cosx-2cos2x=0，即可解出．
（II）由（I）可得f（x）=-2cos2x+cosx=-2(cosx-
1
4
)2+
1
8
，由x∈[0，π]，可得cosx∈[-1，1]．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答： 解：（I）∵向量
OP
與
OQ
垂直，
∴
OP
•
OQ
=（1+2cosx）cosx-（2+2cos2x）=cosx+2cos2x-2-2cos2x=cosx-2cos2x=0，
解得cosx=0或cosx=
1
2
．
∴x=kπ+
π
2
或x=2kπ±
π
3
（k∈Z）．
（II）由（I）可得f（x）=-2cos2x+cosx=-2(cosx-
1
4
)2+
1
8
，
∵x∈[0，π]，
∴cosx∈[-1，1]．
∴f（x）∈[-3，
1
8
]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2-x+alnx，其中a≠0．
（1）a=-6，求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，e n(n2-1)≥（n!）3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+
1
x
，g（x）=x2+x-b，y=f（x）圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，且P點(diǎn)既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象上．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)h（x）=
f(x)
g(x)
，求證：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

袋中有一元人民幣兩枚，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸一枚硬幣．
（1）試問(wèn)，一共有多少種不同的結(jié)果，列出所有可能的結(jié)果（其中正面朝上與反面朝上是不同的結(jié)果）
（2）若摸到正面朝上時(shí)得2分，摸到反面朝上得1分，求3次摸得總分為5分的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（
x
y
）=f（x）-f（y），若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，其中A（-6，0），F(xiàn)（4，0）點(diǎn)P在橢圓上且位于x軸上方，
PA
•
PF
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)M（m，0）是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|m-6|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)可能是
①矩形的四個(gè)頂點(diǎn)；
②有三個(gè)面為等腰直角三角形，另一個(gè)面為等邊三角形的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)；
③每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)；
④每個(gè)面都是直角三角形的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論是
 
．（請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

關(guān)于圖中的正方體ABCD-A1B1C1D1，下列說(shuō)法正確的有：
 
．
①P點(diǎn)在線段BD上運(yùn)動(dòng)，棱錐P-AB1D1體積不變；
②P點(diǎn)在線段BD上運(yùn)動(dòng)，直線AP與平面A1B1C1D1平行；
③一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；
④一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；
⑤平面α截正方體得到一個(gè)六邊形（如圖所示），則截面α在平面AB1D1與平面BDC1間平行移動(dòng)時(shí)此六邊形周長(zhǎng)先增大，后減小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算
∫
e
1
1
x
dx=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案