Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E是SA的中點．

（1）求證：平面BED平面SAB；
（2）求直線SA與平面BED所成角的大小．

Answer 1

（1）見解析；（2）45°

本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，正確得出線面角，屬于中檔題．
（1）證明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，證明DE⊥平面SAB即可；
（2）作AF⊥BE，垂足為F，可得∠AEF是直線SA與平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得結論．
解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．…………………………………………3分
∵SD＝AD，E是SA的中點，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．(若用向量法請參照給分)……………………………………6分
（2）法一：作AF⊥BE，垂足為F．
由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，則AF⊥平面BED，
則∠AEF是直線SA與平面BED所成的角．……………………………………………8分
設AD＝2A，則AB＝A，SA＝2 A，AE＝A，
△ABE是等腰直角三角形，則AF＝A．
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，
故直線SA與平面BED所成角的大小45°．…………………………………………12分
（2）法二：分別以DA,DC,DS為坐標軸建立坐標系D—xyz，不妨設AD＝2，則
D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，
C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．
＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．
設m＝(x₁，y₁，z₁)是面BED的一個法向量，則
，因此可取m＝(－1，，1)．…………………8分

 ……12分