Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n+1=0，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+b_n=2，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a_n=n，2b_n+1-b_n=0，從而得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，由此求出bn=

1

2n-1

．
（Ⅱ）由已知得cn=n•

1

2n-1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可知數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n…（2分）
∵S_n+b_n=2，∴S_n+1+b_n+1=2
∴2b_n+1-b_n=0
即

bn+1

bn

=

1

2

…（4分）
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列
又S₁+b₁=2，∴b₁=1…（5分）
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=

1

2n-1

…（6分）
（Ⅱ）由已知得cn=n•

1

2n-1

，…（7分）
∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

…（8分）

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

…（9分）
兩式相減得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…（10分）
=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

…（12分）
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為：
Tn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．