冪函數(shù)f(x)=xn的圖象過點(diǎn)(
12
,8)
,則n=
 
,若f(a-1)<1,則a的取值范圍是
 
分析:根據(jù)冪函數(shù)f(x)過點(diǎn)(
1
2
,8)
,列出關(guān)于n的方程,求解即可得到n的值;根據(jù)冪函數(shù)的解析式,去掉“f”,列出關(guān)于a的不等式,求解即可得到a的取值范圍.
解答:解:∵冪函數(shù)f(x)=xn的圖象過點(diǎn)(
1
2
,8)
,
(
1
2
)n=8
,即2-n=23,
∴-n=3,即n=-3;
∴f(x)=x-3,
根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)f(x)在(-∞,0)的值域?yàn)椋?∞,0),
①當(dāng)a-1<0,即a<1時,f(a-1)<0<1恒成立,
②當(dāng)a-1>0,即a>1時,f(a-1)<1,即(a-1)-3<(a-1)0,
又∵-3<0,
∴a-1>1,解得a>2,
綜合①②可得,a的取值范圍是a<1或a>2.
故答案為:-3;a<1或a>2.
點(diǎn)評:本題考查了冪函數(shù)的概念、解析式,定義域和單調(diào)性.考查了求冪函數(shù)的解析式問題,運(yùn)用了待定系數(shù)法的解題方法,求解析式一般選用待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消元法等.還考查了利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式,對于冪函數(shù)的問題,關(guān)鍵是正確的畫出冪函數(shù)的圖象,根據(jù)冪函數(shù)在第一象限的圖形,結(jié)合冪函數(shù)的定義域、奇偶性,即可畫出冪函數(shù)的圖象,應(yīng)用圖象研究冪函數(shù)的性質(zhì).屬于基礎(chǔ)題.
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(1)若gn(x)=f(x)+f(a-x),x∈(0,a),證明:
an2n-1
gn(x)<an

(2)若gn(x)=f(x)-f(x-a),對任意n≥a>0,證明:gn′(n)≥n!a.

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2
),則f(4)的值等于( 。

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2
)
=
3
3

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