Question

在海岸A處測得北偏東45°方向，距A為（

3

-1）km的B處有一魚群，魚群正以10km/h的速度才B處向北偏東30°方向游動，在A處北偏西75°方向，離A為2km的C處有一艘漁船獲悉立即以10

3

km/h的速度追捕魚群，問漁船沿什么方向行駛才能最快追上魚群？并求出所需時(shí)間．

Answer 1

分析：由題意，△ABC中∠CAB=120°，由余弦定理算出BC的長度；△ABC中由正弦定理，求得sin∠ACB值．設(shè)漁船用t小時(shí)在D處追上魚群，則CD=10

3

t且BD=10t．△ABC中求得∠CBD=120°，利用正弦定理在△BCD中求得sin∠BCD，從而可求得漁船行駛方向，最后在△BCD中得出BD=BC，由t=

1

10

BD即得最快追上魚群的最短時(shí)間．

解答：解：在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠CAB
=（

3

-1）²+2²-2×（

3

-1）×2×（-

1

2

）=6，
所以，BC=

6

．
在△ABC中，由正弦定理得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin120°

，
所以，sin∠ACB=

AB•sin120°

BC

=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

．
結(jié)合∠ACB∈（0°，60°），得∠ACB=15°．
設(shè)漁船用t小時(shí)，在D處追上魚群，如圖，
則有CD=10

3

t，BD=10t，∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD=

BD•sin∠CBD

CD

=

10t•sin120°

10 3 t

=

1

2

，可得∠BCD=30°，
又∵∠ACB=15°，∴180⁰-（∠BCD+∠ACB+75°）=180°-（30°+15°+75°）=60°，
即漁船沿北偏東60°方向能最快追上魚群．?
在△BCD中，∴∠BCD=30°，∠CBD=90°+30°=120°，
∴∠CDB=30°，∴BD=BC=

6

，
則t=

1

10

BD=

6

10

，即漁船最快追上追上魚群所需時(shí)間為

6

10

小時(shí)．
答：漁船沿北偏東60°方向行駛能最快追上魚群，所需時(shí)間為

6

10

小時(shí)．

點(diǎn)評：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求漁船追上魚群的最短時(shí)間．著重考查了余弦定理、正弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．