Question

已知冪函數(shù)的圖象與x軸，y軸無交點且關(guān)于原點對稱，又有函數(shù)f(x)=x²－alnx+m－2在(1，2]上是增函數(shù)，g(x)=x－在(0,1)上為減函數(shù).
①求a的值；
②若，數(shù)列{a_n}滿足a₁＝1，a_n+1＝p(a_n)，（n∈N₊），數(shù)列{b_n}，滿足，，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n和s_n.
③設(shè)，試比較[h(x)]ⁿ+2與h(xⁿ)+2ⁿ的大小（n∈N₊），并說明理由.

Answer 1

①;②；;③見解析.

試題分析：①由冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可以知道的取值集合，由圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)可以確定的值，將的值代入，的解析式后，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系以及不等式的恒成立問題的解法就可以知道滿足的不等式，就可以解得的值；②先由已知條件求出的解析式，然后得出，的關(guān)系，由函數(shù)構(gòu)造的方法可以求得的解析式，代入即可，再由數(shù)列求和公式求得的值；③先求出的解析式，再由相減的方法來判斷兩個式子的大小，最后減得的結(jié)果和0比較即可，注意分類討論的思想.
試題解析：①冪函數(shù)的圖像與軸，軸無交點，則有，解得
又，∴或,
又冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則有冪函數(shù)是奇函數(shù),
當(dāng)時，是偶函數(shù)，不合題意，舍去,
當(dāng)時，是奇函數(shù)，∴,
∴，求導(dǎo)得,
又∵在上是增函數(shù)，∴在上恒成立,
解得,
又∵，在上為減函數(shù),
∴在上恒成立,
解得,
綜上知；                                   ..3分
②∵,
∴∴∴∴,
∴是首項為公比的等比數(shù)列,
∴解得,
∴,
∴,
；           .6分
③∵,
當(dāng)時，,
當(dāng)時，
＝
＝
＝
＝
,
.                             10分