Question

【題目】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．

（1）若，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．

①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求證：數(shù)列，的公差相等；

②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列，見解析

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進(jìn)行求解；

（2）①設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得出；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得出，從而可證數(shù)列，的公差相等；

②利用反證法，先假設(shè)可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進(jìn)而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列．

（1）因?yàn)?/span>，，所以，且，

由題意可知，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列，

所以；

（2）①證明：設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，

若，則當(dāng)時(shí)，，

即，與題意不符，所以，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，

若，則當(dāng)時(shí)，，

即，與題意不符，所以，

綜上，，原命題得證；

②假設(shè)可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，

因?yàn)?/span>，所以，所以，，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

，

所以當(dāng)n為偶數(shù)，且時(shí)，，

即當(dāng)n為偶數(shù)，且時(shí)，不成立，與題意矛盾，

所以數(shù)列不能為等比數(shù)列．