Question

已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的傾斜角為α，參數(shù)方程為

x=tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)，tanα=

1

2

），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+12=0，直線l與圓C交于A，B兩點，則|OA|+|OB|=

 

．

Answer 1

考點：點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，由韋達(dá)定理可得t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．再由條件求得cosα的值，可得|OA|+|OB|的值．

解答： 解：圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+12=0，化為直角坐標(biāo)方程為 x²+y²-8x+12=0，即（x-4）²+y²=4，
表示以（4，0）為圓心、半徑等于2的圓．
把直線l的參數(shù)方程

x=tcosα y=tsinα

代入圓的方程，可得 t²-8cosαt+12=0．
由韋達(dá)定理可得 t₁•t₂=12＞0，t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．
再由直線l的傾斜角為α，且tanα=

1

2

，可得cosα=

2 5

5

，∴|OA|+|OB|=8×

2 5

5

=

16 5

5

故答案為：

16 5

5

．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的幾何意義，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．