Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（（2b-c）cosA=acosc
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面積是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)結(jié)合和與差的公式（2b-c）cosA=acosc，可得角A的大�。�
（Ⅱ）根據(jù)a=3，△ABC的面積是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，利用余弦定理求出b+c的值可得△ABC的周長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）∵（2b-c）cosA=acosc，
由正弦定理，可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC．
得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC．
即2sinBcosA=sinB．
∵0＜B＜π，sinB≠0．
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵△ABC的面積是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，a=3．
可得：$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，
得：bc=9．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
得：9=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴（b+c）²=36
即：b+c=6
故得：△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c=6+3=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查△ABC的面積公式的運(yùn)用以及正余弦定理的合理運(yùn)用，考查了計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題．