Question

已知函數(shù)?（x）=，a為常數(shù)，且a＞0
（1）若f（x）=ln（x-1）+?（x），且a=6，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=|ln（x-1）|+?（x），且對(duì)任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，
∵a=6，∴
令f′（x）＞0，可得，∴或
令f′（x）＜0，可得，∴
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為-----（6分）
（2）∵對(duì)任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有，
∴g（x）在（1，3]是減函數(shù)
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，，由題意g'（x）≤0恒成立
所以，所以
令，則y'＞0恒成立，所以函數(shù)在（1，2]上單調(diào)遞增，
所以y的最大值為-4，所以a＞0------------------------------------（9分）
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，，由題意g'（x）≤0恒成立
所以，所以
令，則y'＞0恒成立，所以函數(shù)在[2，3]上單調(diào)遞增，
所以y的最大值為，所以a≥------------------------------------（9分）
綜上所述，a的取值范圍是------------------------------------（13分）
分析：（1）確定f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求出導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，從而可得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)對(duì)任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有，可得g（x）在（1，3]是減函數(shù)，再分x∈（1，2]，x∈[2，3]，分類討論，同時(shí)利用分離參數(shù)法，即可確定a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解．