(2013•豐臺區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
4
+y2=1
,其短軸的端點分別為A,B(如圖),直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點,其中點M (m,
1
2
) 滿足m≠0,且m≠±
3

(Ⅰ)求橢圓C的離心率e;
(Ⅱ)用m表示點E,F(xiàn)的坐標;
(Ⅲ)證明直線EF與y軸交點的位置與m無關.
分析:(Ⅰ)由橢圓的標準方程即可得出a,b,利用c2=a2-b2即可得到c,再利用離心率的計算公式e=
c
a
即可得出;
(Ⅱ)利用點斜式分別寫出直線AM,BM的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,即可得到點E,F(xiàn)的坐標;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)得到直線EF的方程,令x=0,即可得到y(tǒng)的值.
解答:解:(Ⅰ)依題意知a=2,c=
3
,∴e=
3
2
;              
(Ⅱ)∵A(0,1),B(0,-1),M (m,
1
2
),且m≠0,
∴直線AM的斜率為k1=-
1
2m
,直線BM斜率為k2=
3
2m
,
∴直線AM的方程為y=-
1
2m
x+1
,直線BM的方程為y=
3
2m
x-1
,
x2
4
+y2=1
y=-
1
2m
x+1
得(m2+1)x2-4mx=0,
x=0,x=
4m
m2+1
,∴E(
4m
m2+1
m2-1
m2+1
)
,
x2
4
+y2=1
y=
3
2m
x-1
得(9+m2)x2-12mx=0,
x=0,x=
12m
m2+9
,∴F(
12m
m2+9
9-m2
m2+9
)
;                
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:
kEF=
9-m2
m2+9
-
m2-1
m2+1
12m
m2+9
-
4m
m2+1
=-
m2+3
4m

∴直線EF的方程為:y-
m2-1
m2+1
=-
m2+3
4m
(x-
4m
m2+1
)

令x=0,得y=
m2-1
m2+1
+
m2+3
m2+1
=2,
∴直線EF與y軸的交點為(0,2)與m無關.
點評:熟練掌握橢圓的方程及其性質、直線與橢圓相交問題、點斜式等是解題的關鍵.本題需要較強的計算能力.
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關于偶函數(shù)f(x)的圖象G和直線l:y=m(m∈R)的3個命題如下:
①當a=2,m=0時,直線l與圖象G恰有3個公共點;
②當a=3,m=
1
4
時,直線l與圖象G恰有6個公共點;
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直線l與圖象G交于4個點,且相鄰點之間的距離相等.
其中正確命題的序號是(  )

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1
16
1
2
1
16
1
2

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(2013•豐臺區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
4
+y2=1
的短軸的端點分別為A,B,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點,其中點M (m,
1
2
) 滿足m≠0,且m≠±
3

(Ⅰ)求橢圓C的離心率e;
(Ⅱ)用m表示點E,F(xiàn)的坐標;
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關于偶函數(shù)f(x)的圖象G和直線l:y=m(m∈R)的3個命題如下:
①當a=4時,存在直線l與圖象G恰有5個公共點;
②若對于?m∈[0,1],直線l與圖象G的公共點不超過4個,則a≤2;
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直線l與圖象G交于4個點,且相鄰點之間的距離相等.
其中正確命題的序號是( �。�

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π
12
對稱的是( �。�

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