Question

一塊邊長(zhǎng)為10的正方形紙片，按如圖所示將陰影部分裁下，然后將余下的四個(gè)全等的等腰三角形作為側(cè)面制作一個(gè)正四棱錐S-ABCD（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的四棱錐）．
（1）過此棱錐的高以及一底邊中點(diǎn)F作棱錐的截面（如圖），設(shè)截面三角形面積為y，將y表為x的函數(shù)；
（2）求y的最大值及此時(shí)x的值；
（3）在第（2）問的條件下，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，問是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)P，它在此棱錐的表面（包含底面ABCD）運(yùn)動(dòng)，且FP⊥AC．如果存在，在圖中畫出其軌跡并計(jì)算軌跡的長(zhǎng)度，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中根據(jù)兩條邊長(zhǎng)利用勾股定理做出四棱錐的高，即可求得截面三角形面積的函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用基本不等式，可求最值；
（3）取BC的中點(diǎn)G，SC中點(diǎn)T，連接FG，GT，TF，證明AC⊥平面GFT即可得到結(jié)論，從而可求軌跡的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由題意，y=

1

2

•EF•SO=

1

2

x•

25-( x 2 )2

=

x

2

25- x2 4

=

x 100-x2

4

（0＜x＜10）（4分）
（2）y=

x 100-x2

4

=

x2(100-x2)

4

≤

1

4

•

x2+100-x2

2

=

25

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)x²=100-x²（0＜x＜10），即x=5

2

時(shí)取得最大值．…..（9分）
（3）存在這樣的點(diǎn)的軌跡，下面說明：
取BC的中點(diǎn)G，SC中點(diǎn)T，連接FG，GT，TF，F(xiàn)G∩AC=H，則GF∥BD，TH∥SO
∵SO⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥GF，AC⊥TH
∵GF∩TH=H
∴AC⊥平面GFT．
∴只要P在平面GFT與棱錐的表面的交線上運(yùn)動(dòng)，均有FP⊥AC．

此時(shí)，由中位線性質(zhì)可知，△GFT的周長(zhǎng)l=

1

2

(SB+BD+SD)=

1

2

（

25- x2 4

+

25- x2 4

+

2

x）=

25- x2 4

+

2 x

2

在（2）的條件下，l=5+

5

2

2

…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．