【題目】如圖,曲線由曲線
和曲線
組成,其中點
為曲線
所在圓錐曲線的焦點,點
為曲線
所在圓錐曲線的焦點,
(1)若,求曲線
的方程;
(2)如圖,作直線平行于曲線
的漸近線,交曲線
于點
,
求證:弦的中點
必在曲線
的另一條漸近線上;
(3)對于(1)中的曲線,若直線
過點
交曲線
于點
,求△
面積的最大值.
【答案】(1)=
和
=
;(2)見解析;(3)
.
【解析】試題分析:本題主要考查橢圓與雙曲線的方程與定義、直線與圓錐曲線的位置關系,考查了方程思想與弦長公式、邏輯推理能力與計算能力.(1)根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)可得,求解可得曲線的方程;(2)由題意,設直線
,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系與中點坐標公式求出點M的坐標,則易得結論;(3)設直線
的方程為
,聯(lián)立曲線C1的方程,利用根與系數(shù)的關系式,結合弦長公式與點到直線的距離公式求解.
試題解析:
(1)∵,
∴,
解得,
則曲線的方程為
=
和
=
.
(2)證明:曲線的漸近線為
,
如圖,設直線,
則,
化為=
,
,
解得.
又由數(shù)形結合知,
設點,
則=
=
,
∴=
=
=
,
∴,
即點在直線
上.
(3)由(1)知,曲線,點
,
設直線的方程為
,
聯(lián)立方程組,
化為=
,
,即
,
設,
∴,
∴=
,
=
=
=
,
令,
∴,
∴=
=
=
,
當且僅當,即
時等號成立,
∴時,
=
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4sincos x+
.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-m區(qū)間在上有兩個不同的零點x1,x2,求實數(shù)m的取值范圍,并計算tan(x1+x2)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,點M(m, 0)在x軸的正半軸上,過M點的直線
與拋物線 C相交于A,B兩點,O為坐標原點.
(1) 若m=l,且直線的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(2) 是否存在定點M,使得不論直線繞點M如何轉(zhuǎn)動,
恒為定值?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知過點的動直線
與拋物線
:
相交于
兩點.當直線
的斜率是
時,
.
(1)求拋物線的方程;
(2)設線段的中垂線在
軸上的截距為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,左頂點為
,過原點且斜率不為0的直線與橢圓交于
兩點,其中點
在第二象限,過點
作
軸的垂線交
于點
.
⑴求橢圓的標準方程;
⑵當直線的斜率為
時,求
的面積;
⑶試比較與
大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓 1(a>
)的右焦點為F,右頂點為A,已知
,其中O為原點,e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設過點A的直線l與橢圓交于B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率.
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