當(dāng)n∈N，n≥2時，求證：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
(n∈N)．
分析：用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，先驗證n=2時，不等式成立；再假設(shè)n=k（k≥2）時，不等式成立，然后利用放縮法證明n=k+1時，不等式成立．
解答：證明：①當(dāng)n=2時，左邊=1+
1
2
=1+
2
2
＞1.7＞
2
=右邊，
∴當(dāng)n=2時，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時，不等式成立，
即1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
＞
k
，
則當(dāng)n=k+1時，
左式=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
+
1
k+1
＞
k
+
1
k+1

=
k(k+1)
+1
k+1
＞
k•k
+1
k+1
=
k+1
k+1
=
k+1
=右式，
∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
由①②知，對一切n∈N，且n≥2，不等式都成立．
故1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
(n∈N)．
點評：本題考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，合理地運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，證明過程中注意放縮法的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n∈N*，n≥2時滿足
an
an-1
=
an-1+2n-1
an-2n+1
，求
（1）求{an}的通項公式；
（2）記數(shù)列{
1
4an
}的前n項和為An，證明An＜2
n
；
（3）bn=
an(2n-1)
n2+cn
（c為非零常數(shù)），若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，求數(shù)列{（-1）nSn}的前m項和Tm．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列式子：1+
1
22
＜
3
2
，1+
1
22
+
1
32
＜
5
3
，1+
1
22
+
1
32
+
1
42
＜
7
4
，…，則可以猜想的結(jié)論為：當(dāng)n∈N且n≥2時，恒有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當(dāng)x＞0時，求證
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）當(dāng)n∈N+且n≥2時，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x
x+2
（x＞0），觀察：f1（x）=f（x）=
x
x+2
，f2（x）=f（f1（x））=
x
3x+4
，f3（x）=f（f2（x））=
x
7x+8
，…，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn（x）=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）等差數(shù)列{an}中，首項a1=1，公差d≠0，已知數(shù)列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比數(shù)列，其中k1=1，k2=2，k3=5．
（1）求數(shù)列{an}，{kn}的通項公式；
（2）當(dāng)n∈N+，n≥2時，求證：
a2
2k2-2
+
a3
2k3-2
+
a4
2k4-2
+…+
an
2kn-2
＜
8
3
．

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