【答案】
分析:法一:(Ⅰ)證明平面PAB⊥平面PCB,只需證明平面PCB內(nèi)的直線BC,垂直平面PAB內(nèi)的兩條相交直線PA,AB,即可證明BC⊥平面PAB,就證明了平面PAB⊥平面PCB;
(Ⅱ)證明平面EAC外的直線PD,平行平面EAC內(nèi)的直線EM,即可證明PD∥平面EAC;
(Ⅲ)在等腰直角△PAB中,取PB中點(diǎn)N,連接AN,在平面PBC內(nèi),過N作NH⊥直線CE于H,連接AH,.說明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角,解Rt△AHN,求二面角A-EC-P的大�。�
法二:(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB,AP所在直線分別為y軸、z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,通過向量計(jì)算,說明
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/0.png)
,從而證明PD∥EM.PD?平面EAC,EM?平面EAC,PD∥平面EAC.
(Ⅲ)求出平面EAC的一個(gè)法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/1.png)
,平面EBC的一個(gè)法向量
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,利用
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,求二面角A-EC-P的大�。�
解答:證明:
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.(2分)
又BC?平面PCB,
∴平面PAB⊥平面PCB.(4分)
(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD,
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∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影.
又∵PC⊥AD,
∴AC⊥AD.(5分)
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得
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,
∴
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.
又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形.
∴
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.
連接BD,交AC于點(diǎn)M,則
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.(7分)
在△BPD中,
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,
∴PD∥EM
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,
∴PD∥平面EAC.(9分)
(Ⅲ)在等腰直角△PAB中,取PB中點(diǎn)N,連接AN,則AN⊥PB.
∵平面PAB⊥平面PCB,且平面PAB∩平面PCB=PB,
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∴AN⊥平面PBC.
在平面PBC內(nèi),過N作NH⊥直線CE于H,連接AH,由于NH是AH在平面CEB內(nèi)的射影,故AH⊥CE.
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角.(12分)
在Rt△PBC中,設(shè)CB=a,則
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,
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,
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,
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,
由NH⊥CE,EB⊥CB可知:△NEH∽△CEB,
∴
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.
代入解得:
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.
在Rt△AHN中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/15.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/16.png)
(13分)
即二面角A-CE-P的大小為
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.(14分)
解法二:
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB,AP所在直線分別為y軸、z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/images20.png)
設(shè)PA=AB=BC=a,則A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/18.png)
.(5分)
設(shè)D(a,y,0),則
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,∵CP⊥AD,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/20.png)
,解得:y=-a.∴DC=2AB.
連接BD,交AC于點(diǎn)M,
則
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.(7分)
在△BPD中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/22.png)
,
∴PD∥EM.
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,
∴PD∥平面EAC.(9分)
(Ⅲ)設(shè)
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=(x,y,1)為平面EAC的一個(gè)法向量,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/24.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/25.png)
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/26.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/27.png)
.(11分)
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/28.png)
=(x',y',1)為平面EBC的一個(gè)法向量,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/29.png)
,
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/30.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/31.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/32.png)
解得:x'=0,y'=1,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/33.png)
=(0,1,1).(12分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/34.png)
(13分)
∴二面角A-CE-P的大小為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905703895/SYS201310241809429057038018_DA/35.png)
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,二面角及其度量,考查空間想象能力,邏輯思維能力,計(jì)算能力,是中檔題.