Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PD⊥ABCD，設(shè)PD=4，M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線MN與PD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角M-DN-C的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接BD，并取其中點(diǎn)O，連接MO，NO，MN，DN，PN，可得∠NMO為異面直線MN與PD所成角，且MO⊥平面ABCD，求出NO，MO，即可求異面直線MN與PD所成角的大��；
（Ⅱ）過點(diǎn)O作OG⊥DN于G，連接MG，則∠MGO是二面角M-DN-C的平面角，從而可求二面角M-DN-C的平面角的正切值．
解答：解：（I）如圖，連接BD，并取其中點(diǎn)O，連接MO，NO，MN，DN，PN，
則MO∥PD，且MO=
∴∠NMO為異面直線MN與PD所成角，且MO⊥平面ABCD
∴MO⊥NO，MO=，NO=
∴tan∠NMO==
∴∠NMO=
∴異面直線MN與PD所成角為；
（II）過點(diǎn)O作OG⊥DN于G，連接MG．
∵M(jìn)O⊥平面ABCD，∴OG是MG在平面ABCD上的射影，
由三垂線定理得：MG⊥DN，∴∠MGO是二面角M-DN-C的平面角．
在△DON中，由面積相等得：
∴，
∵OM==2，
∴tan
∴二面角M-DN-C的平面角的正切值．
點(diǎn)評：本題考查空間角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確作出空間角是關(guān)鍵．