Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（a，0）（a≠0），圓C的圓心在直線(xiàn)y=-4x上，并且與直線(xiàn)l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MA|=2|MO|，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得|CM|的取值范圍是[1，9]，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)出圓心與半徑，根據(jù)圓C的圓心在直線(xiàn)y=-4x上，可得圓心C（a，-4a），利用圓與直線(xiàn)l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2），根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求出圓心與半徑，從而可求圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MA|=2|MO|，建立方程，化簡(jiǎn)可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）分類(lèi)討論，圓D與圓C外離；圓C內(nèi)含于圓D，根據(jù)|CM|的取值范圍是[1，9]，即可求出實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C（a，b），半徑為r．
因?yàn)閳A心C（a，b）在直線(xiàn)y=-4x上，
所以b=-4a，即圓心C（a，-4a）．
因?yàn)閳AC與直線(xiàn)l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2），
所以圓心C（a，-4a）到直線(xiàn)l的距離d=|PC|．
即 

|a-4a-1|

2

=

(a-3)2+(-4a+2)2

．
整理得：a²-2a+1=0．
解得：a=1．
所以圓C的方程為（x-1）²+（y+4）²=8…（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）．
因?yàn)閨MA|=2|MO|，所以

(x-a)2+y2

=2

x2+y2

．
整理得 (x+

a

3

)2+y2=

4a2

9

．
即點(diǎn)M的軌跡是以D(-

a

3

，0)為圓心，r=

2

3

|a|為半徑的圓D．…（8分）
（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)a，使得|CM|的取值范圍是[1，9]．
（1）當(dāng)圓D與圓C外離時(shí)，依題意可得：

|CD|+r=9 |CD|-r=1.

，即

|CD|=5 r=4.

．
由|CD|=5解得a=6或-12；由r=4解得a=6或-6，
所以a=6．
（2）當(dāng)圓C內(nèi)含于圓D時(shí)，依題意可得：

r+|CD|=9 r-|CD|=1.

即

|CD|=4 r=5.

由|CD|=

(1+ 1 3 a)2+16

=4，解得a=-3．
此時(shí)r=

2

3

|-3|=2，與r=5矛盾．
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a=6，使得|CM|的取值范圍是[1，9]．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．