Question

已知函數(shù)f（x）=sinx（2cos²

θ

2

-1）+cosx•sinθ（0＜θ＜π）在x=π處取最小值．
（1）求θ的值；
（2）若f（2x-

π

3

）=

1

3

，且x∈（

3

4

π，π），求sin2x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡得f（x）=sin（x+θ）從而可求θ的值；
（2）若f（2x-

π

3

）=

1

3

，且x∈（

3

4

π，π），可先求f(2x-

π

3

)=cos(2x-

π

3

)=

1

3

，sin(2x-

π

3

)=-

1- 1 9

=

-2

3

2

從而可求sin2x的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosθ+cosx•sinθ=sin（x+θ）
∴π+θ=-

π

2

+2kπ⇒θ=-

3

2

π+2kπ，
∴θ=

π

2

（2）f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx
∴f(2x-

π

3

)=cos(2x-

π

3

)=

1

3

由

3

4

π＜x＜π⇒

3

2

π＜2x＜2π⇒

3

2

π-

π

3

＜2x-

π

3

＜2π-

π

3

∴sin(2x-

π

3

)=-

1- 1 9

=

-2

3

2

∴sin2x=sin[(2x-

π

3

)+

π

3

]=

1

2

sin(2x-

π

3

)+

3

2

cos(2x-

π

3

)=

-1

2

•

2

3

2

+

3

2

•

1

3

=

- 2

3

+

3

6

點評：本題主要考察三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和二倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．