Question

在平面直角坐標系中，已知三點A（-2，0）、B（2，0），△ABC的外接圓為圓，橢圓的右焦點為F．
（1）求圓M的方程；
（2）若點P為圓M上異于A、B的任意一點，過原點O作PF的垂線交直線于點Q，試判斷直線PQ與圓M的位置關系，并給出證明．

Answer 1

解：（1）法一設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因為圓M過A，B，C，
所以（4分）
解得D=E=0，F(xiàn)=-4，故圓M方程為x²+y²=4．（6分）
解法二：由題意知，
所以K_AC=，則K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，（4分）
所以外接圓M以原點O為圓心，線段AB為直徑，故其方程為x²+y²=4．（6分）
（2）直線PQ與圓M相切．
下證明這個結論：由橢圓E的方程=1，可知，（8分）
設P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則y₀²=4-x₀²．
當x₀=2時，=-1，
所以OP⊥PQ所以直線PQ與圓M相切．（10分）
當x₀≠6時，k_FP=7，
所以直線OQ的方程為y=-x，因此，
點Q的坐標為，
所以k_PQ=-，（12分）
所以當x₀=0時，k_PQ=0，OP⊥PQ，直線PQ始終與圓M相切；
當x₀≠0時，k_PQ•k_OP=-1，OP⊥PQ，直線PQ始終與圓M相切．
綜上，當x₀≠±2時，總有OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓M相切．（16分）
分析：（1）解法一：設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，因為圓M過A，B，C，所以，由此能求出圓M方程．
解法二：由題意知A（-2，0），B（2，0），，所以K_AC=，則K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，由此知以外接圓M以原點O為圓心，線段AB為直徑，從而得到其方程．
（2）直線PQ與圓M相切．證明這個結論：由橢圓E的方程=1，可知，設P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則y₀²=4-x₀²．然后通過分類討論知當x₀≠±2時，直線PQ始終與圓M相切．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用和分類討論思想的合理運用．