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(2012•泰安二模)設a∈R,函數f(x)=lnx-ax.
(I)求f(x)的單調區(qū)間;
(II)若函數f(x)無零點,求實數a的取值范圍.
分析:(I)先確定函數f(x)的定義域,然后對函數f(x)求導,根據導函數大于0時原函數單調遞增,導函數小于0時原函數單調遞減求出單調區(qū)間.
(II)當a≤0時,函數有零點;當a>0時,極大值小于0,函數沒有零點,由此可求實數a的取值范圍.
解答:解:(I)函數f(x)的定義域為(0,+∞),求導函數可得f′(x)=
1-ax
x

①當a≤0時,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函數
②當a>0時,令f′(x)>0,則1-ax>0,ax<1,∵x>0,∴0<x<
1
a

令f′(x)<0,則1-ax<0,ax>1,x>
1
a

∴當a>0時f(x)在(0,
1
a
)上是增函數,在(
1
a
,+∞)上是減函數.
(II)當a≤0時,當x>0,且無限趨近于0時,f(x)<0,f(1)=-a≥0,故函數有零點
當a>0時,若極大值小于0,即f(
1
a
)=-lna-1<0,即a>
1
e
,則函數沒有零點.
∴函數f(x)無零點時,實數a的取值范圍是(
1
e
,+∞).
點評:本題主要考查函數單調性與其導函數的正負之間的關系,即當導函數大于0時原函數單調遞增,當導函數小于0時原函數單調遞減.
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