Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=log_a

3-x

3+x

（a＞0且a≠1），證明當a＞1時函數(shù)f（x）在其定義域內是單調遞增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先，求解函數(shù)的定義域，然后，任設兩個自變量，比較它們對應的函數(shù)值的大小，最后得到結論．

解答： 解：據(jù)題，

3-x

3+x

＞0，
解得-3＜x＜3，
∴函數(shù)的定義域為（-3，3），
下面證明當a＞1時函數(shù)f（x）在其定義域內是單調遞增函數(shù)．
任設x₁，x₂∈（-3，3），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=loga

3-x1

3+x1

-loga

3-x2

3+x2

∴f（x₁）-f（x₂）
=loga(

3-x1

3-x2

•

3+x2

3+x1

)
∵-3＜x₁＜x₂＜3，
∴-x₁＞-x₂，∴3-x₁＞3-x₂＞0，
3+x₂＞3+x₁，
∴

3-x1

3-x2

＞1 ，  

3+x2

3+x1

＞1，
∵a＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
當a＞1時函數(shù)f（x）在其定義域內是單調遞增函數(shù)．

點評：本題重點考查對數(shù)函數(shù)的定義域求解方法，分式不等式的解法，函數(shù)的單調性的應用等知識，屬于中檔題．