Question

如圖，橢圓C：x²＋3y²＝3b²(b＞0)．

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)若b＝1，A，B是橢圓C上兩點，且|AB|＝，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2 　　得， 　　所以e＝＝＝＝．　5分 　　(Ⅱ)解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面積為S． 　　如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標為(，)，此時S＝＝； 　　如果AB不垂直于x軸，設直線AB的方程為y＝kx＋m， 　　由得x2＋3(kx＋m)2＝3， 　　即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0， 　　所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 　　(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝，① 　　由|AB|＝及|AB|＝得 　　(x1－x2)2＝，② 　　結合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原點O到直線AB的距離為， 　　所以S＝， 　　因此S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１] 　�。剑�(－2)2＋≤， 　　故S≤．當且僅當＝2，即k＝±1時上式取等號．又＞，故Smax＝．　15分

提示：

本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分．