函數(shù) (a>0)，

① 對于給定的a，設(shè)函數(shù)的最大值為M (a)，最小值為m (a)，求M (a)，m (a)的解析式及定義域；

② h (a)=M (a)—m (a)，求h (a)的解析式；

③ 變動a，求h (a)的最小值及相應(yīng)的a的值；

④ 求不等式h (a)>1的解集．

 

答案：
解析：

解：① －1≤x≤1  可設(shè)x=sinθ 

f (sinθ)=sin2θ+2 lga ·cosθ

       =－cos2θ+2 lga ·cosθ+1

       =－(cosθ－lga)2+lg2a+1，

記cosθ=t，0≤t≤1，考慮．

易知：

② 

③  當0<a≤1時  1－2lga的最小值為1  (a=1時取到)；

當時  lg2a－2lga+1=(lga－1)2時，最小值為 (時取到)；

當時  lg2a的最小值為 (時取到)；

當a≥10時  2lga－1的最小值為1  (a=10時取到) ．

綜上，h (a)=M (a)—m (a)的最小值為．

④  h (a)=lg2a－2lg a+1=(lg a－1)2，且，

∴  ，

又 ，

故解不等式h (a)>1只需

 

令  或 ．

解之：得0<a<1或a>0．

故h (a)>1的解集為

{a|0<a<1或a>10}．

另解：分段畫出h (a)的草圖，圖中A(1，1)，，C (10，1)．

可見，不等式h(a)>1的解集是

a∈(0，1)∪(10，+∞)．

 


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A．     B．

C．     D．

 

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A．                B．                C．                   D．

 

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