已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)
(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線的斜率為
.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若對(duì)任意
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),證明:
.
(1);(2)
;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)由結(jié)合條件函數(shù)
的圖象在點(diǎn)
處的切線的斜率為
,可知
,可建立關(guān)于
的方程:
,從而解得
;(2)要使
對(duì)任意
恒成立,只需
即可,而由(1)可知
,∴問題即等價(jià)于求函數(shù)
的最大值,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性,從而求得其最值:
,令
,解得
,當(dāng)
時(shí),
,∴
在
上是增函數(shù);當(dāng)
時(shí),
,∴
在
上是減函數(shù),因此
在
處取得最大值
,∴
即為所求;(3)考慮采用分析法證明欲證的不等式:
,故可考慮構(gòu)造函數(shù)
,則問題等價(jià)于證明
在
上單調(diào)遞增,可以考慮利用導(dǎo)數(shù)求證:
,由(2)知,
,∴
,∴
是
上的增函數(shù),即欲證不等式得證.
試題解析:(1)∵,∴
, 1分
又∵的圖象在點(diǎn)
處的切線的斜率為
,∴
,即
,
∴; 2分
(2) 由(1)知,,
∴對(duì)任意
成立
對(duì)任意
成立, 4分
令,則問題轉(zhuǎn)化為求
的最大值,
,令
,解得
, 5分
當(dāng)時(shí),
,∴
在
上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),
,∴
在
上是減函數(shù). 6分
故在
處取得最大值
,∴
即為所求; 8分
(3)令,則
, 9分
由(2)知,,∴
, 10分
∴是
上的增函數(shù),
∵,∴
,即
, 11分
∴, 12分
即,
,
, 13分
∴,∴
. 14分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程;2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與求函數(shù)極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè),若函數(shù)
,
,有大于零的極值點(diǎn),則( )
A、 B、
C、
D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省襄陽市四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是
,過
的直線
與雙曲線相交于
、
兩點(diǎn),則滿足
的直線
有 ( )
A、1條 B、2條 C、3條 D、4條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省襄陽市四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________________;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省襄陽市四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)函數(shù)的圖像如左圖,則導(dǎo)函數(shù)
的圖像可能是下圖中的()
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省武漢市高三9月調(diào)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若,且
,求
的值;
(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求自變量
的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省武漢市高三9月調(diào)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知為拋物線
的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△AFO與△BFO面積之和的最小值是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省武漢市高三9月調(diào)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
在△ABC中,,
,
,則BC邊上的高等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省咸寧市高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
.給出定義:若函數(shù)在
上可導(dǎo),即
存在,且導(dǎo)函數(shù)
在
上也可導(dǎo),則稱
在
上存在二階導(dǎo)函數(shù),記
.若
在
上恒成立,則稱f(x)在
上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在
上不是凸函數(shù)的是 _________。ò涯阏J(rèn)為正確的序號(hào)都填上)
①;
②;
③;
④.
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