Question

已知橢圓C中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

，P（1，

3

2

）為橢圓上的一點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，記橢圓C的上頂點為A，問是否存在這樣的以A為直角頂點的內(nèi)接與橢圓的等腰直角△ABC，若存在，共有幾個？若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用離心率e=

3

2

，P（1，

3

2

）為橢圓上的一點，建立方程，即可求出橢圓C的標準方程；
（2）設直線AB：y=kx+1，代入橢圓方程，求出|AB|，|AC|，利用|AB|=|AC|，建立方程，即可求得結論．

解答： 解：（1）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵離心率e=

3

2

，P（1，

3

2

）為橢圓上的一點，
∴

c

a

=

3

2

，

1

a2

+

3 4

b2

=1
解得a²=4，b²=1，c=

3

．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（2）由題意A（0，1），直線AB，AC的斜率存在且不為0，設k_AB=k＞0，則k_AC=-

1

k

，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直線AB：y=kx+1，
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²+8kx=0，∴x₁=-

8k

1+4k2

，
|AB|=

1+k2

|x₁|=

1+k2

•

8k

1+4k2

，
同理|AC|=

8 1+k2

k2+4

，
若|AB|=|AC|，則

1+k2

•

8k

1+4k2

=

8 1+k2

k2+4

，
∴（k-1）（k²-3k+1）=0，
∴k=1或

3± 5

2

，
∴存在3個以A為直角頂點的內(nèi)接與橢圓的等腰直角△ABC．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立是解題的關鍵．