Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1（a∈R），g（x）=xe^1-x
（Ⅰ）求g（x）極值；
（Ⅱ）設(shè)a=2，函數(shù)h（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區(qū)間（2，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當a＜0時，若對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用導數(shù)的運算法則可得g′（x）=

e(1-x)

ex

，分別解出令g′（x）=0，令g′（x）＞0，令g′（x）＜0，即可得出函數(shù)g（x）取得極值；
（II）當a=2時，f（x）=x-2lnx-1，可得f′（x），h（x）=x³+x²（1-

2

x

+

m

2

）=x3+(1+

m

2

)x2-2x，h′（x）=3x²+（2+m）x-2，又h′（0）=-2．由函數(shù)h（x）在區(qū)間（2，3）上不是單調(diào)函數(shù)，可得方程h′（x）=0在區(qū)間（2，3）上有且只有一個實數(shù)根．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得

h′(2)＜0 h′(3)＞0

，解出即可．
（III）當a＜0時，f′(x)=1-

a

x

＞0在x∈[3，4]上恒成立，可得函數(shù)f（x）在x∈[3，4]上單調(diào)遞增．設(shè)u（x）=

1

g(x)

=

ex

ex

，同理利用u′（x）＞0在x∈[3，4]上恒成立，可得u（x）在x∈[3，4]上為增函數(shù)．不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立?f（x₂）-f（x₁）＜u（x₂）-u（x₁）恒成立，即f（x₂）-u（x₂）＜f（x₁）-u（x₁）在x∈[3，4]上恒成立．設(shè)F（x）=f（x）-u（x）=x-alnx-1-

ex

ex

．則F（x）在x∈[3，4]上為減函數(shù)．分離參數(shù)利用導數(shù)進一步研究即可得出．

解答： 解：（I）g′（x）=

e(1-x)

ex

，
令g′（x）=0，解得x=1；
令g′（x）＞0，解得x＜1，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞1，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值，g（1）=1．無極小值．
（II）當a=2時，f（x）=x-2lnx-1，f′(x)=1-

2

x

，
∴h（x）=x³+x²（1-

2

x

+

m

2

）=x3+(1+

m

2

)x2-2x，
h′（x）=3x²+（2+m）x-2，
又h′（0）=-2．
∵函數(shù)h（x）在區(qū)間（2，3）上不是單調(diào)函數(shù)，
∴方程h′（x）=0在區(qū)間（2，3）上有且只有一個實數(shù)根．
從而

h′(2)＜0 h′(3)＞0

，即

3m+31＞0 2m+14＜0

，解得-

31

3

＜m＜-7．
∴實數(shù)m的取值范圍為(-

31

3

，-7)．
（III）當a＜0時，f′(x)=1-

a

x

＞0在x∈[3，4]上恒成立，∴函數(shù)f（x）在x∈[3，4]上單調(diào)遞增．
設(shè)u（x）=

1

g(x)

=

ex

ex

，∵u′(x)=

(x-1)ex-1

x2

＞0在x∈[3，4]上恒成立，
∴u（x）在x∈[3，4]上為增函數(shù)．
不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立
?f（x₂）-f（x₁）＜u（x₂）-u（x₁）恒成立，即f（x₂）-u（x₂）＜f（x₁）-u（x₁）在x∈[3，4]上恒成立．
設(shè)F（x）=f（x）-u（x）=x-alnx-1-

ex

ex

．則F（x）在x∈[3，4]上為減函數(shù)．
F′(x)=1-

a

x

-

ex-1(x-1)

x2

≤0在x∈[3，4]上恒成立，化為a≥x-ex-1+

ex-1

x

恒成立．
設(shè)H（x）=x-ee-1+

ex-1

x

，
∵H′（x）=1-e^x-1+

ex-1(x-1)

x2

=1-e^x-1[(

1

x

-

1

2

)2+

3

4

]，x∈[3，4]．
∴e^x-1[(

1

x

-

1

2

)2+

3

4

]＞

3

4

e2＞1，x∈[3，4]．
∴H′（x）＜0在x∈[3，4]上恒成立，即H（x）為減函數(shù)．
∴H（x）在x∈[3，4]上的最大值為H（3）=3-

2

3

e2．
∴a≥3-

2

3

e2，
∴a的最小值為3-

2

3

e2．

點評：本題考查了利用函數(shù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬于難題．