Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的表達式，通過求導得出斜率k的值，再求出切點坐標，從而求出切線方程；
（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1
∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，
∴切點坐標為（1，3），
∴所求切線方程為y-3=4（x-1），
即4x-y-1=0．
（2）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）
由f′（x）=0得x=-a或x=

a

3

，
∵a＞0，由f′（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

，
由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

，
此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-a，

a

3

)，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)．

點評：本題考查了導數(shù)的應用，求曲線的切線方程，考查了函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．