設(shè)圓滿(mǎn)足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1，在滿(mǎn)足條件①②的所有圓中，求圓心到直線(xiàn)l：x－2y＝0的距離最小的圓的方程．

答案：
解析：

　　解：設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|．由題設(shè)知圓P截x軸所得的劣弧對(duì)的圓心角為90°，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，故r2＝2b2．又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有r2＝a2＋1．從而得2b2－a2＝1．又點(diǎn)P(a，b)到直線(xiàn)x－2y＝0的距離為，所以a－2b＝，得a2＝4b2±bd＋5d2①，將a2＝2b2－1代入①式，整理得2b2±4db＋5d2＋1＝0②，把它看作b的二次方程，由于方程有實(shí)根，故判別式非負(fù)，即Δ＝8(5d2－1)≥0，可解得5d2≥1．所以5d2有最小值1，從而d有最小值．把代入②式得2b2±4b＋2＝0，解得b＝±1．將b＝±1代入r2＝2b2，得r2＝2．

　　由r2＝a2＋1得a＝±1．

　　綜上a＝±1，b＝±1r2＝2．由|a－2b|＝1知a，b同號(hào)．于是所求圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．

思路解析：可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由①有垂徑定理，即r2＝|a|2＋1；由②有劣弧對(duì)的圓心角為90°，即所截弦長(zhǎng)為，于是有r2＝2b2，再由圓心到直線(xiàn)的距離可求得圓心坐標(biāo)和半徑．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿(mǎn)足條件
QM
=2
QP
的點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過(guò)點(diǎn)M且不過(guò)圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為p=2
2
sin（θ-
π
4
），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C所截得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿(mǎn)足條件數(shù)學(xué)公式的點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年湖北省黃岡市高考數(shù)學(xué)交流試卷3（文科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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