Question

已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，點(diǎn)是雙曲線右支上相異兩點(diǎn)，且滿足為線段的中點(diǎn)，直線的斜率為

（1）求雙曲線的方程；

（2）用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若，的中垂線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求的面積的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只需找到兩個(gè)關(guān)于的兩個(gè)等式，通過(guò)解方程即可得到的值，從而得到雙曲線方程.

（2）由直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y可得關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程，判別式必須滿足大于零，再由韋達(dá)定理可表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，又根據(jù)即可用k表示點(diǎn)D的縱坐標(biāo).從而可求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

（3）的中垂線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)求的面積.通過(guò)直線AB可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，又由線段AB的中垂線及中點(diǎn)D的坐標(biāo)，可以寫(xiě)出中垂線的方程，再令y=0，即可求出點(diǎn)M.以MN長(zhǎng)為底邊，高為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，即可求出面積的表達(dá)式.再用最值的求法可得結(jié)論.

試題解析：（1）

雙曲線的方程為；

（2）方法一：

設(shè)直線的方程為代入方程得

當(dāng)時(shí)記兩個(gè)實(shí)數(shù)根為

則

∴的方程為把代入得

下求的取值范圍：法一：由得即

而所以化簡(jiǎn)得

法二：在中令得

即所以

再結(jié)合 得 ；

方法二：兩式相減得

（3）由（2）可知方程中令得

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由得

∴

考點(diǎn)：1.雙曲線的性質(zhì).2.直線與雙曲線的位置關(guān)系.3.三角形的面積的求法.4.最值的求法.