Question

如圖所示，某村在P處有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一塊田ABCD中去，已知PA=100m，BP=120m，BC=60m，∠APB=60°，能否在田中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送肥較近而另一側(cè)的點(diǎn)則沿PB送肥較近？如果能，請(qǐng)說出這條界線是什么曲線，并求出它的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：田地ABCD中的點(diǎn)可分為三類：第一類沿PA送肥近，第二類沿PB送肥較近，第三類沿PA或PB送肥一樣近，由題意知，界線是第三類點(diǎn)的軌跡．建立坐標(biāo)系，利用雙曲線的定義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：田地ABCD中的點(diǎn)可分為三類：第一類沿PA送肥近，第二類沿PB送肥較近，第三類沿PA或PB送肥一樣近，由題意知，界線是第三類點(diǎn)的軌跡．
設(shè)M是界線上的任一點(diǎn)，則
|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=20（定值）
故所求界線是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線一支．
若以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則a=10，
2c=|AB|=

1002+1202-2•100•120•cos60°

=20

31

c=10

31

，b²=c²-a²=3000．
因此，雙曲線方程為

x2

100

-

y2

3000

=1（x≥10，0≤y≤60），
即為所求界線的方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．