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設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足.”

   （I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

   （III）設是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的.

（1）函數是集合M中的元素  （2）證明見解析

（3）證明見解析


解析:

（1）因為，…………2分 

    所以滿足條件………………3分

    又因為當時，，所以方程有實數根0.

    所以函數是集合M中的元素.…………4分

     （2）假設方程存在兩個實數根），

    則，………5分  不妨設，根據題意存在數

    使得等式成立，……………………7分

    因為，所以，

    與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；…………9分

    （3）不妨設，因為所以為增函數，所以，

    又因為，所以函數為減函數，………………10分

    所以，…………11分

    所以，即…………12分

    所以

…………13分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根；
（Ⅲ）設x1是方程f（x）-x=0的實數根，求證：對于f（x）定義域中任意的x2、x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足
0＜f′（x）＜1”
（I）證明：函數f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）是集合M中的元素；
（II）證明：函數f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）具有下面的性質：對于任意[m，n]⊆[0，
1
2
），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．試用這一性質證明：對集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一個實數根．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判斷函數f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判斷g（x）的單調性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）設x1＜x2，證明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：（1）方程f（x）-x=0有實數解；（2）函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．給出如下函數：
①f(x)=
x
2
+
sinx
4
；
②f（x）=x+tanx，x∈(-
π
2
，
π
2
)；
③f（x）=log3x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有
①③
①③
．（只需填寫函數的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：①方程f（x）-x=0有實根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數f（x）為集合M中的任意一個元素，證明：方程f（x）-x=0只有一個實根；
（2）判斷函數g（x）=
x
2
-
lnx
2
+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（3）設函數f（x）為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意α，β，證明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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