Question

已知函數(shù)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線對稱．
（1）求函數(shù)f（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程1-f（x）=m在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的公式和二倍角公式進(jìn)行化簡，再由最小正周期求出ω的值，最后根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對稱確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由題意可得 sin（2x+）=m在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，再由 0≤x≤可得 ≤2x+≤，得到-≤sin（2x+）≤1，由此得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=a•=a•sin2ωx-+
=a•sin2ωx-cos2ωx+1，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，∴=π，ω=1．
∴f（x）=a•sin2x-cos2x+1．
再由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱可得 f（0）=f（），即 =a•-•（-）+1，解得 a=-1．
故函數(shù)f（x）=-sin2x-cos2x+1=1-sin（2x+），故本題即求sin（2x+）在上的減區(qū)間．
令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z．
再由x∈可得函數(shù)f（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間為[，]．
（2）關(guān)于x的方程1-f（x）=m在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即 sin（2x+）=m在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
再由 0≤x≤可得 ≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，
集合圖象可得 m=1，或-≤m＜．
點(diǎn)評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應(yīng)用和最小正周期的求法．考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的簡單應(yīng)用和靈活能力，屬于中檔題．