已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

 

【答案】

（1）；(2)的取值范圍是

【解析】

試題分析：（1）本題較易，注意利用已知條件建立方程組解得，

即得所求.

（2）從確定三角形的面積表達(dá)式入手，建立的不等式

.通過設(shè)直線的方程為，建立方程組并整理，建立的不等關(guān)系；

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足，，

得到線段的垂直平分線的方程為，

求得此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

從而利用，整理得，，

將上式代入的不等關(guān)系式，得到的不等式.

試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，

由題設(shè)得解得，

 所以雙曲線方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，整理得，此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

于是且，

整理得......③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足，，

從而線段的垂直平分線的方程為，

此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

由題設(shè)可得，整理得，，

將上式代入③式得，

整理得，，解得或，

所以的取值范圍是

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，三角形面積公式.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn).

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍.

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